Derivace funkce - úvod

Vítejte v sekci Derivace funkce. Jak už může být patrné z názvu budeme v této kapitole pracovat s funkcemi, respektive určovat derivace funkce. Nicméně abyste pochopili perfektně téma derivací musíte ovládat funkce. Na funkce na EASYMATU nemám samostatnou kapitolu, takže si uděláme ze všeho nejdříve velice stručný úvod do funkcí. Co je to vlastně funkce ? Funkce je předpis, řekněme zápis nějakého funkčního vztahu, lidově řečeno, funkcí zapíšeme nějakou závislost dvou veličin. I v běžném životě určitě najdeme mnoho příkladů různých závislostí, tak například vztah(neboli závislost) mezi výši výplaty a spokojeností, ve smyslu čím mám vyšší výplatu tím sem více spokojený. Pak další příklad vztah mezi velikostí motoru a spotřebou, pak mezi konzumací alkoholu a délkou života atd... De facto můžeme funkcí popsat jakoukoliv závislost která nás napadne. V našem případě budeme uvažovat jen jednu proměnnou takže vztaženo na náš příklad mezi výplatami a spokojeností je ted jen o jedne proměnné, tedy že naše spokojenost je jen otazkou jedné proměnné a to výplaty. Matematika je abstraktní a proto pro někoho i náročná, takže my v matematice pokud budeme pracovat s funkcema nebudeme uvažovat o reálném příkladu, prostě si řekneme že hodnota Y(výstup) záleží na nějakém vstupu (X) a tuto závislost zapíšeme předpisem, lidsky řečeno, nějak to zapíšeme.

Matematický zápis funkce

Existují zajetá pravidla, jak se funkce zapisuje a doporučuju je respektovat, neboť přesně tyto pravidla od vás budou očekávát vaší učitelé či tvůrci testů u přijímacích zkoušek. Držme se zlatého pravidla, funkce má nějaký vstup, který popíšeme pomocí písmene X a poté taky výstup. Existují dva způsoby jak funkci zapsat.

Jak tyto dva zápisy chápat ? Máme popsanou nějakou závislost, že hodnota Y neboli výstup funkce závisí na vstupu neboli hodnotě X dvakrát a ještě plus pět. Co tak příklad z praxe ? Klidně, jen nezapomínejme že matematika je abstraktní a popisujě závislost obecně a neříka nic o realném příkladu. Jak to celé chápat. Nuže, řekněme že autor téhle stránky prohlasí, že počet sebevražd ve společnosti závisí na průmerném počtu alkoholiků ve společnosti a tuto závislot popíšu vztahem,který sem uvedl, tedy Y se rovná 2X plus 5. Co by to tedy znamenalo ? např. pokud budu mít 1000 alkoholiků tak podle této funkce bych měl mít 2005 sebevražd. Jak pak to že 2005 ? No dvakrát tisíc jsou dva tisíce a plus pět je dvatisice pět. Jestli je moje hypotéza zapsaná pomocí funkce pravdivá nebo NE o tom můžeme polemizovat, ale to už není matematika. Matematika zde nabídla pro moji potřebu nějaký zápis . Matematický zápis tedy neřeší věrohodnost závislosti, tento matematický zápis jen zprostředkuje matematický vztah. Proto nebudeme používat při práci s funkcema realné příklady ale budeme se striktně držet obecné závislosti že hodnota Y závisí na hodnotě X přesně podle zápisu funkce. Reálnou aplikaci funkcí do života necháme statistikům, ekonomům a jiným agentům s teplou vodou ;)
Na mém příkladu se sebevraždama sem ale dospěl do fáze, že jsem vyčíslil hodnotu Y neboli spočítal funkčí hodnotu.Pro tyto případy je vhodný zápis který začíná pomocí " f(x) ". Ukažme si další případ, kdy vyčíslíme několik funkčních hodnot a zejmena si ukážeme takový zápis.

Co to znamená spočítat funkční hodnoty ? Je to velmi jednoduché, dosadíte konkrétní hodnotu za X do zápisu funkce. To jakou hodnotu dosazujeme,zapíšeme k malému písmenu f, kterým vlastně zápis funkce začíná. Dejte si to do kontrastu s obecným zápisem funkce, který začíná písmenem y, zde není prostor pro to, abychom uvedli konkrétní hodnotu, kterou dosazujeme pro výpočet funkční hodnoty, tedy výsledku. Proto používejte zápis funkce podle okolností,pokud budeme pracovat obecně s funkcí tak vezměme zápis s "y", pokud budeme vyčislovat tak zápis s "f(x)".V našem případě pro hodnotu x=1 nám funkce spočítá výstup v hodnotě 3 a pokud máme proměnnou x=2 tak funkce nabývá hodnoty 5. Zde je hlavní síla funkce, a to že na základě vstupní hodnoty vám funkce spočítá hodnotu vystupní. Ještě jednou,dodali jsme hodnotu jedna a funce spočítala hodnotu tři, dodali jsme hodnotu dva, a funkce spočítala hodnotu pět. Praktická vypovídací hodnota funkce není předmětem matematiky. To už je práce nějakých tlučhubů, kteří tuto funkci aplikují např. na konkrétní příklady. Z čistě matematického hlediska, funkce je jen předpis neboli zápis, který pro konkretní vstup spočítá výstup, pomocí svého zápisu.
Co se týký formy zápisu,to samé bude platit pro derivace funkce. Pokud budeme jen obecně derivovat, tak budeme derivovat zápis s y = ..., a pokud budeme vyčislovat derivaci funkce v konkrétním bodě, tak použijeme zápis f(x)=.... a za malé x dosadíme hodnotu x z konkrétního bodu.

Shrnutí funkcí

Každá funkce musí mít svůj zápis a použivejte bez výjimky písmena ypsilon a x, je to takový standard a cokoliv jiného by mohlo učitele rozladit ;) Funkce má tedy svůj zápis, který říká jakým způsobem y závísí na x. Opět jak už bylo uvedeno, definujeme to abstraktně, konkrétní příklady, co na čem závisí, už nejsou problém matematiky, matematika neřeší zda fyzické zdraví závisí na počtu vypitých piv, ale pokud to tak nekdo řekně, rozuměj nějaký tlučhuba tak matematika dokáže tomuto tlučhubovi dodat předpis, který mu tuto závislost popíše matematicky... Funkce se můžou taky řadit do určitých kategorií, např. máme lineární funkce, kvadratické funkce, goniometrické, logaritmické a další.... Prostě v praxi studenta, jsou studentovi naservirovány určité šablony a to jsou jak sem řekl např. kvadratická funkce či logaritmická. Vždy jde o ten vztah mezi x a y, takže v případě kvadratické funkce,nám závislost mezi x a x roste pomocí druhé mocniny.Pokud by si vzal nějaký tlučhuba rozuměj politik, do huby kvadratickou funkci, mohl by prohlásit, že životní úroveň obyvatelstva roste kvadraticky s dosaženým vzděláním. Matematika zde opět poskytla jen nějaký předpis pro vztah ale nehodnotí jeho pravdivost. To je už jiná disciplína, třeba selský rozum, když si vezmene, jaké platy maji učitelé či vědečtí pracovníci v akademii věd, určite výrok tlučhuby je nesmysl. Ale to už není o matematice ale o výběru funkce, tlučhuba něměl tvrdit že ten vztah má kvadratickou závislost.
Jak už bylo několikrát zmíněno, funkce má nějaké vstupy a to je x a výstup(funkční hodnotu) a to y. Co se týká zápisu, tak soubor hodnot, které můžeme dodat/dosadit za x, nazýváme definiční obor funkce a soubor funkčních hodnot(tedy výsledku funkce !!!) nazýváme obor hodnot. Oba dva termíny mají svou symboliku v matematice.Zde je obrázek:

Nejvíc důležitý u funkce je její definiční obor, neboť ne vždy máme uplnou volnost při dosazení za x, např. vztah střízlivost versus počet vypitých piv. Pokud řekneme, že sřizlivost klesá s počtem vypitých piv, podle nějakého předpisu, tj. funkce, tak počet vypitých piv nemůže být určité záporný a tak definiční obor tété funkce by byl od nuly do plus nekonečna. Nula piv vypít můžeme, ale záporný počet piv ne. Něktéré funkce mají svůj Df omezený z hlediska definice, např. funkce logaritmické akceptují jen kladné vstupy, záporná číslá taky ne a nulu už vůbec ne ;) Nicméně pojďme už k derivaci funkce jako takové....

Derivace funkce

Zkusme si nejdřív položit otázku, proč funkci derivovat. Neptejme se co je derivace a jak funguje, zkusme se zamyslet jak se funkce chová. Funkce může růst,klesat,být konstantní atd. Na jednu stranu máme konkretní příklady závislostí popsané funkcí a to ty, které si vyčíslíme když dosadíme za X, např. když dosadím 5 piv, tak mám nějaký výsledek pro Y. Zkusme se ale podívat na funkci jako celek, zkusme se na funkci podívat jako na nějakého hada. Pak nás zajíma jak se had kroutí, kde ma své maxima(kam až teda vyroste), kde má své minima, a jak rychle například roste... to jsou všechno věci které nám poskytne derivace, derivace dokáže popsat chování funkce a její dynamiku. Tohle byl zlom v dějinách matematiky a celý vědecký pokrok je postavený na tom že dokážeme matematicky popsat změny, respektive rychlost změn. Ten kdo říka, že matematiku rozvíjeli nějací opálení tlučhubové v řecku či egyptě ten mele nesmysly. Matematika byla vždy kupecká, či konstrukční, počítat stavy svého bohatsví či vyrobit anebo postavit přesné rozměry. Ale to je jen statický rozměr !!! Matematika pomocí derivací dokáže říct jak rychle se něco mění a kde jsou maxima či minima, a to je ten pravý zlom v matematice, dokažeme popsat dynamické jevy, ne jen to že máme 150 kusu dobytka či že dům je vysoký 100 metrů... Derivace tedy otevřely nový svět a to svět který je schopen popisovat chovaní funkce. Pro naše začátky si můžeme říct, že derivace nám ukazuje kdy funkce roste či klesá a jak rychle roste či jak rychle klesá....

Derivace funkce,symbolika,úroveň derivace

Z výše uvedeného výkladu by jste mohli nabýt dojmu,že derivace funkce je jen jedna, ve smyslu že zderivujeme a hotovo. Není to tak úplně, ono derivace má své úrovně, např první derivace, druhá derivace, třetí atd. Vy většinou budete muset spočítat první či druhou derivaci funkce. Jak pak to spočítáme drouhou derivaci ? Jednoduše ;), spočítáme derivaci první a tu pak ješte jednou zderivujeme a máme derivaci drouhou. Pokud bychom zderivovali výsledek druhé derivace, máme derivaci třetí a tak dále... Stupeň derivace se značí pomocí malé čárky za ypsilon, ukažme si raději na obrázku.

Podívejme se tedy na obrázek. Máme konkrétní funkci, dalo by se říct že to je funkce lineární(což ale teď není podstatné),a příklady úrovně derivací, pokud je první derivace, tak píšeme jednu čárku k ypsilon, ono ta čárka vypadá jako apostrof, pokud bychom potřebovali udělat čtvrtou a nižší derivaci, tak nepoužíváme apostrofy ale číslice. Jak už ale bylo uvedeno, v písemkách a příjímacích zkouškách bude první a druhá derivace. Výjímečné třetí. Takže klid ;) V obrázku jsou taky konkretní hodnoty derivací,zatím ještě nevíme jak derivovat,respektive podle jakých pravidel, ale všimněte si jedné věci, pokud derivace nabyde v nějaké své úrovní hodnoty nula, tak ostatní nižší derivace jsou taky bez vyjímky nula...derivovat má tedy smysl, jen do té doby než nastane nula,nicméně není pravidlem že musíme dostat po nějakém čase(stupni derivace) hodnotu nula. Tím se ale tím netrapte... pojďme si ukázat první pravidla, pro derivaci funkcí.

Pravidla pro derivaci funkce

Začneme tím nejjednodušším pravidlem a to derivací konstanty neboli čísla. Pokud jste dobře četli predešlé pasáže, tak síla derivace je v tom že popisuje změnu,případně její dynamiku, pokud si funkci představíme jako hada, tak derivace popisuje jak rychle se had vlní, zda stoupá či klesá... prostě derivace nám zprostředkuje živý pohled na věc ;) zamysleme se jak se mění konstanty respektive čisla. Už jenom z názvu konstanta jde vycítit že hodnota je konstantní, takže změna žádná....pět korun je pořád pět korun, respektive netahejte teď do toho nějakou ekonomii, z hlediska dynamiky je konstanta konstantní a nemění se, tedy změna je nulová !!! derivace konstanty je tedy NULA !!!! Pozor na oblibené chytáky, když budeme derivovat písmeno pí či eulerovo číslo, nebo např. odmocniku z čísla. Z hlediska derivací jsou to jen a pouze statické hodnoty, které se nemění, takže derivace je nula !!! udělejme si tedy pravidlo na derivovaní konstant.

Podívejme se pečlivě na příklady, v každé závorce je de facto číselná hodnota a derivace jakéhokoliv čísla je vždy bez výjimky nula !!! A nikdy jinak ;) Jen se nenechte zmást, sem tam jsou k derivaci určeny exotická čísla, například čísla na první pohled velká, jako třeba miliony, statisíce atd. Na druhou stranu nezapomenťe na konstanty typu pí a eulerovo číslo, jejichž derivace je taky bez výjimky nula. Prostě nejde o to jakou číselnou hodnotu máme ale o to že to je číslo a derivace popisuje změny funkce a změna čísla je nula, tedy derivace nulová. Už snad začínáme cítit, tu změnu v úrovni matematiky, už nepočítáme stádo ovcí či otroků ale sledujeme změny případně rychlost změn.Derivace konstanty neboli čísla je nejjednodušší případ pro derivování,ukažeme si ale postupně další případy respektivě šablony, které se musíte perfektně naučit aby ste zvládali bez problému derivovat.

Pravidla pro derivaci funkce - derivace exponentu

Prvním z realných vzorců pro derivace funkce bude derivace exponentu funkce, zde asi už lze vycítit, že exponent funkce bude mít určite vliv na průběh funkce, tedy na to jak se chová, a jak už zaznělo, derivacemi chceme popsat chování funkce. Určitě X na první poroste pomaleji než X na druhou a X na desátou zase rychleji než X na druhou...Čím větší exponent, tím se funkce bude chovat rychleji a její průběh bude složitější. Nicméně pro derivaci je celkem jedno kolik je výchozí exponent, derivace exponentu se řídí bez výjimky striktním pravidlem.Pojďme si ho napsat:

Podívejme se na logiku vzorce, není potřeba v tom hledat nic složitého. Máme de facto X s nějakým exponentem a při derivaci sundáme původní exponent, dáme ho před X a to do operace násobení, a poté původní exponent snížíme o jedničku.Néjlepe si to samozřejmě ukážeme na příkladech...

Všechny příklady jsou de facto jednoduché, sundáme původní exponent, ať vypadá jakkoliv, postavíme před X a původní exponent snížíme o jedničku. Jen pozor, pokud derivujete záporný exponent, tak musíte sundat původní exponent v celé jeho kráse, to znamená včetně znaménka !!! takže v našem případě když máme původní exponent záporný, tak sundáváme i znaménko. Další pozor si dejte, když budete původní záporný exponent snižovat o jedničku, tak vždy musíte dostat exponent nižší než bylo původně. Konkrétně tedy, když derivujeme X na mínus druhou tak nový výsledný exponent je tedy mínus tři, tedy menší než původně, mínus tří je méně než mínus dva !!!. Další zajimavou situaci máme pokud derivujeme čísté, holé X, za holým X si představíme jaký exponent ? Odpověd zní, že holé X je de facto X na plus jedna, takže plus jedničku sundáme před X a teď je otázka jaký exponent vlastně vznikne ponovu nad X,nenechte se vykolejit, pravidlo zní jasně, a to že, původní exponent musíme snížit o jedna, takže jedna mínus jedna je nula a cokoliv na nultou je vždy jedna !!! Takže ve finále derivace čistého X je tedy holá jednička. Ukažme si ale další případy, kdy budeme derivovat X na první, v takových případech si totiž zautomatizujeme derivování a výsledky už budeme psát přímo z hlavy...

Ze všeho nejdříve si připomeňme poučku, že derivace sebere původnímu exponentu jedničku,takže když výchozí stav exponentu je jedna, neboť holé X je de facto X na první, tak po derivaci, je nový exponent nula a cokoliv na nultou, tedy i X na nultou je ve výsledku jedna.Takže z původního X na první se nám stane jednička. Otázka co se děje s konstantou, lidově řečeno číslicí, která stále před X. Zde je nutné si uvědomit v jaké situaci číslice vystupuje, číslice zde jsou v součinu vůči X, viz první příklad, máme tři X, trojka tedy X násobí, a pokud násobí číslice proměnnou tak derivování nepodléhá, může se vám zdát, že to je v rozporu s poučkou, že derivace každé číslice je nula,což je sice pravda ale jen v případě že číslice stojí samostatně a tedy nic nenásobí !!! To co by jste si měli uvědomit z těhle příkladů je to, že pokud derivujeme holé X tedy X na první tak stačí vzít to co stojí před X v zadání(rozuměj tedy co X de facto v zadání násobí ) a to je rovnou už výsledek derivace... Krásně to jde vidět v případě zlomků, když máme zlomek který násobí X na první, tak výsledek je přímo ten původní zlomek včetně znaménka!!! Napišme si to ale jako poučku, včetně faktu, že konstanta pokud násobí proměnnou(tedy X) tak nepodléhá derivaci !!!

Pravidlo je tedy velice jednoduché, jen se nesmí zmatkovat, prostě holé X před kterým je číslo neboli konstanta(číslo de facto X násobí nebo dělí, to je ekvivalentní), tak po derivaci takového výrazu nám zbyde holá konstanta beze změny, ale včetně znaménka. Nic víc nic míň. Abychom si dokázali, že konstanta při násobení nepodléha derivaci, museli bychom si ukázat vzorec pro derivovaní násobení,který ale přijde později. Zatím tedy stačí to, že si zapamatujeme rozdíl mezi derivací holé číslice, která stoji samostatně a derivací čislice která násobí proměnnou... toť vše. Nyní je na čase si ale ukázat další pravidla, která nám umožní derivovat celé funkce, všimněte si že sme doposavaď derivovali jen výrazy, tedy malé kousky, z kterých může být celá funkce postavena.Další pravidla tedy bodou o tom jak derivujeme vícero výrazů které se můžou vyskytovat v různých matematických situacích. Zní to akademicky a teoreticky, ale de facto jde o to, že se naučíme pravidla, jak derivovat sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Pravidla pro derivaci matematických operací,sčítání a odčítání

Začneme zlehka, a to poučkou jak zderivovat dva či více výrazů, které jsou vůči sobě v operaci sčítání anebo odčítání... To se nám bude hodit v případě, že budeme derivovat funkci, která se bude skládat z vícero výrazů... Zatím si ale nekomplikujme situaci že jsme ve funkci, dívejme se na celý problem radějí očima jak zderivuju nějaké sčítání anebo odčítání obecně. Je to jednoduché jak facka, sčítání a odčítání více výrazů derivujeme tak, že každý výraz zderivujeme zvlášť tedy sólo... Udělejme si tedy poučku a poté budou následovat příklady...

Proč si vlastně takovou poučku zavádíme, je to jednoduché v praxi budete často derivovat funkce, které jsou definovány jakožto několik výrazů a vždy se někde najde sčítání nebo odčítání... Málokdy budete mít v testech zderivovat jen jeden výraz, to by bylo moc jednoduché a pokud bude jen jeden výraz, bude to například funkce složená, nebo něco komplikovanějšího, ale to si ukážeme až později. Opět si ukažme příklady, kde této triviální poučky pro sčítání a odčítání využijeme... Zkusme už opatrně si zavést funkci a hledat její derivaci, zatím sme derivovali izolované tedy samostatné výrazy, nicméně pravidla pro derivaci jsou platná obecně, ať už derivujeme samostatné výrazy nebo funkci jako celek, neboť i když derivujeme funkci tak de facto pracujeme s jejími částmi, tedy rádoby samostatnými výrazi. Pojďme ale už na příklady....

Dříve než začneme rozebírat konkrétní příklady, tak si ujasněme jaký je rozdil mezi derivací výrazu a funkce. De facto není žádny, pravidla fungují na oboje. Jak je to možné ? je to de facto to samé jestli derivujete X na druhou samostatně nebo si řekneme že X na druhou je předpis pro kvadratickou funkci. Pro zjednodušení si můžeme říct, že funkce je vlastně předpis složený z jednoho nebo z vícero výrazů. A když máme výrazů vícero, což je vlastně i příklad který sme si ukázali, tak derivujeme funkci tak že derivujeme výraz po výrazu, zatím známe jen pravidla pro derivování sčítání či odčítání a tyto situace mají tu výhodu, že se dají derivovat postupně,takže výraz po výrazu podle zaběhnutých pravidel. Důležité je tedy pochopit, že máme vzorečky na derivaci různých operací, rozuměj sčítání a odčítání a pak další vzorečky pro derivaci samostatného výrazu. Co říci k jedtnolivým příkladů, jedná se o derivaci X na mocninu, kdy původní mocninu snížíme o jedničku a původní exponent postavíme před X. Pozor si dejte na derivaci samostatných konstant, neboli čísel, jak už zaznělo, derivace každého samostatného čísla je vždy nula, a je jedno jak toto číslo je velke, stačí když je to číslo...Takže tím pádem derivace čísla sto jedenáct je nula a mínus deset e na druhou taky nula...Zejména si taky všimněte, že pokud derivuju záporný exponent u X, tak tento záporný exponent potom postavíme před X a de facto změníme i původní znaménko, které stálo před X...Což je třeba příklad předposlení, kdy původní exponent mínus deset způsobí po derivaci, nové číslo před X a to konkrétně plus padesát. Proč plus padesát ? neboť původní mínus pětka je po derivaci vynásobena exponentem mínus deset a mínus deset krát mínus pět je plus padesát... Nic složitého v tom nehledejte, stačí nezmatkovat a umět násobit případně dvě záporná čísla...Ukažme si ale komplikovanější derivace exponentů neboť v praxi můžeme mít nad X i jiné ošklivější hodnoty než jen celá čísla. Abychom mohli např. derivovat odmocniny musíme je převést na mocniny, podle příslušných pravidel. Pokud nevíte o čem je řeč, nastudujte si na EASYMATU sekci EXPONENTY,MOCNINY. Ukažme si tedy další příklady...

Velice častá komplikace pří derivování exponentů, jsou exponenty ve formě zlomků, které jsou buď přímo v zadaní funkce nebo ve formě odmocniny, která se převede na exponent, což je vlastně příklad poslední, kdy jedna lomeno druhá odmocnina z X se dá přepsat jako X na mínus jednu polovinu. Obecné pravidlo je jednoznačné,vždy musíme původnímu exponentu odečíst jedničku,takže pozor ať neuděláte kupeckou chybu... Co je všask duležitější, je poznatek, že když derivujeme ať už výraz ci celou funkci takže několik výrazů,nemusíme vůbec pospíchat a před samotným derivováním si raději funkci přepíšu respektive zjednoduším a až poté derivuju !!! Tohle si bedlivě zamapatujte... udělejme si z tohodle faktu poučku:

Zlaté pravidlo derivací říká, že derivujeme až v ten moment, kdy to máme nejjednodušší, tedy často se stává,že v písemce máte funkci schválně v tvaru ktery pro derivování je obtížný či nemožný, a chce se tedy po vás, aby jste si zadání fuknce nejdříve upravili ve smyslu zjednodušili a až poté derivovali. Typický případ pro nutnou úpravu předem je odmocnina,kterou musíte převést na mocninu...my jsme si ukázali případ kdy jsme odmocninu ve zlomku převedli na záporný exponent, a ten už derivovat umíme. Ono zlomek samotný by zderivovat šel, ačkoliv sice ještě neznáme pravidla pro derivaci dělení, tedy zlomku, ale matematika by měla člověka naučit řešit problémy co nejelegantněji ;). Takže než začnete derivovat, zkuste se zamyslet zda by výraz nebo funkce nešla nejřív nějak šikovně upravi či zjednodučit. Ukažu ještě další dva příklady, kde to snad bude názorné, jak se vyplatí nejdřív zjednodušit a teprve pak derivovat...

Na dvou příkladech snad vidíte jak užitečné je se nejdřív zamyslet a funkci respektive výraz uvnitř funkce upravit a teprve poté derivovat. Zatím neumíme derivovat součin, neznáme pravidlo, ale řekněme,že pokud bychom ho znali a derivovali podle součinu tak to je práce tak na půl hodiny... Druhý příklady s podílem by byl ještě náročnější kdybychom chtěli použít pravidlo pro derivování podílu... no prostě berte to jako dogma, nejřív funkci či výraz zjednoduším co nejvíce a teprve potom derivuji, je to velice častý trik do písemek !!! Nyní však nastal čas, abychom si ukázali další vzorce respektive pravidla pro derivování funkcí, zatím umíme derivovat konstatny, zejména když stojí samostatně a pak X na nějaký exponent. Pojďme si tedy rozšířit naší sbírku vzorečků...

Pravidla pro derivaci-derivace logaritmu,exponenciální funkce a goniometrických funkcí...

Začneme pravidlem pro derivací logaritmů, ať už dekadického, či s jiným základem a především budeme derivovat logaritmus přirozený, to je takový jehož základ je eulerovo číslo. Ukažme si tedy sadu vzorců:

Pravidlo pro derivaci logaritmů je jednoznačné, to co bylo logaritmováno, tak přejde do zlomku do jmenovatele a v čitateli zlomku je jednička. Jen pozor, pokud derivujeme logaritmus, který má jiný základ než eulerovo číslo, tedy e, tak musime dodat ještě do derivace do jmenovatele ln tohodle čísla, ukažme si raději opět nějaké příklady.

Co dodat,vše vycházi z vzorečků viz výše. Pokud derivujete jiný než přirozený logaritmus, tak musíte ještě do jmenovatele derivace dodat výraz, který je přirozený logaritmus základu logaritmu, pokud máme dekadický logaritmus jehož základ je deset, tak se v jmenovateli derivace objevi ještě ln(10), analogicky to platí i pro jiné základy hodnoty základu logaritmu. Co se týká přirozeného logaritmu, tak samotná derivace je velmi jednoduchá, jen se případně nenechte zmást číslem, které logaritmus násobí, funguje to jako u X, když máme konstantu, která násobí, tak se nederivuje. Takže derivace deseti logaritmů je to samé jako derivace jednoho logaritmu vynásobená deseti...Rádoby to připomína vytýkání ale není to tak. Prostě o tom nepřemýšlejte ale zautomatizujte si to... Ukažme si další sadu vzorců, pujde o derivace exponenciálni funkce, dobře si všimněte kde se přesné nachází neznámá X, odpověď zní, že v exponentu...

Možná si myslíte, že sem udělal chybu, když jsem napsal že derivace e na xtou je de facto opět to samé tedy e na xtou, není to překlep ale je to pravda, opravdu, eulerovo číslo, které je součástí exponenciální funkce tak je derivace stejná jako původní funkce. Je to jediný připad v matematice, kdy funkce a její derivace si odpovídají !!! eulerovo číslo, je nejdůležitější číslo matematiky, a celá moderní věda je postavena na výpočtech pomocí eulerova čísla. Jen se nesmí zmatkovat, pokud derivujeme eulerovo číslo jako samotatné číslo, tak derivace je samozřejmě nula, neboť derivace každého samostatného čísla je nula, ale pokud máme exponenciální funkci kde základ je eulerovo číslo, tak derivace této funkce je stejná jako původní funkce. Pokud budeme derivovat exponenciální funkci, která ma jiný základ než je eulerovo číslo, tak princip je de facto ten samý, samotná funkce i po derivaci zůstane stejná, ale k původní funkci přidáme přirozený logaritmus základu exponenciální funkce. Prostě jednoduše, když máme původní funkci sedm na xtou, tak derivace bude opět sedm na xtou, ale ještě krát ln sedmi. V praxi ale budete derivovat téměř vždy exponenciální funkci se základem eulerova čísla, takže de facto e na xtou. Je na čase si ukázat další várku vzorců pro goniometrické a cyklometrické funkce.

Pravidla pro derivaci-derivace goniometrických funkcí...

Ukažme si sadu vzorců pro derivace goniometrickcýh funkcí, jedná se tedy o funkce, sinus, cosinus, tangens a cotangens, pokud tyto funkce vůbec neznáte, tak se podívejte na EASYMATU na sekci GONIOMETRICKÉ FUNKCE. Pro derivaci nepotřebuju nutně znát detaily o těhle funkcích, dá se říct, že zatím postačí když budete vědět jak tyto funkce zderivovat. Zde jsou vzorečky:

Nenechte se zviklat tím, že derivace sinusu je cosinus a cosinu mínus sinus, prostě vžde je to funkce opačná a znaménko u derivace sinu je plus a u derivace cosinu mínus. Může vám taky napomoct malý trik, že pokud funkce roste tak derivace je kladná (to platí obecně pro všechny funkce), a sinus nám začíná tak že roste a cosinus začíná tak že klesá,takže má derivaci která začíná na mínus. Berte to raději jako lehkou nápovědu, ono realita je trochu víc komplexnější neboť jak sinus tak cosinus ve svém průběhu jak rostou tak klesají, více vám prozradí případně graf obou funkcí, který naleznete v sekci goniometrické rovnice na EASYMATU. Takže ještě jednou, derivace sinusu začíná kladným znaménkem a derivace cosinusu začíná záporným znaménkem, neboť cosinus nám klesá od začátku svého průběhu. Derivace dalších funkcí uvádím pro formálnost, derivace jak tangens tak cotangens je zlomek, neboť tangens můžeme rozepsat jako sinus lomeno cosinus a funkci cotangens můžeme rozepsat jakožto zlomek cosinus lomeno sinus. Znaménka jsou taky celkem pochopitelná, tangens je vždy funce rostoucí takže začíná znaménkem plus a cotangens znaménkem mínus neboť cotangens vždy klesá.... Zde ani nebudu uvádět příklady, neboť jsou úplně jednoduché a není zde co ukazovat. Příklad na goniometrické funkce si ukážeme až budeme umět derivovat součínn a podíl. Další várkou vzorečků budou vzorce pro derivaci cyklometrických funkcí.

Pravidla pro derivaci-derivace cyklometrických funkcí...

Většína z vás pravděpodobně slyší o těhle funkcích poprvé v životě. Jsou to inverzní fukce k funkcím goniometrickým. Tedy k sinu, cosinu atd. Každá goniometrická funkce má svoji funkci inverzní, a s tím že inverzní funkce je tedy odborně nazývána jako cyklometrická. Nevím kdo tento název vymyslel, ale je to jedno, prostě se to naučte a hotovo. Tyto cyklometrické funkce používájí v názvu předponu "arc" čte se foneticky jako "arkus", takže k sinusu máme arcsin, tedy foneticky "arkussínus" ke cosinu máme arccos, tedy foneticky "arkuskosínus", k tangens máme arctg, tedy foneticky "arkustangens" a ke cotg máme arcctg tedy foneticky "arkucotanges". No prostě FUJ ;), no co už prostě tyto funkce existují,jak vypadají a jak se chovají, nemusíme bezpodmínečně umět avšak bylo dobré aspoň vědět, že jsou inverzní vůči goniometrických funkcím, takže mají prohozeny vstupy a výstupy proti funkcím goniometrickým. Co to znamená tedy v praxi, do klasického sinusu, vstupuje nějaký úhel, ten dosadíme za X, bud stupně nebo obloukovou míru, je to jedno,a výstupem ze sinusu klasického, je co ? No jen a pouze číslo a to číslo v mantinelech od mínus jedné do plus jedné. U inverzní funkce je tomu prohozeně. U arcsinu je vstupem číslo od mínus jedne do plus jedné a výstupem úhel. Prostě opačně než tomu bylo u klasického sinu. Pojďmě si ale ukázat raději vzorce:

Všimněte si jedné zajimavé věci a to, že rozdíl mezi derivací arcsinusu a arccosinu je jen ve znaménku !!! derivace jsou identické až na znaménko... to same platí pro druhý pár, tedy pro arcrg a arccotg, opět de facto derivace téměř shodná až na znaménko. Nemá smysl zatím ukazovat příklady derivovaní jednoduchých případů, to by bylo jen a pouze oposivání vzorečků. Nadešel čas si ukázat další triky, pomocí kterých zderivujeme součin a podíl funkcí...

Pravidla pro derivaci součinu a podílu dvou anebo více funkcí..

Zamysleme se nad tím co zatím z derivací umíme. Ukázali jsme si několik vzorečků pro derivací různých funkcí či výrazů a už víme jak pracovat s konstantami. Na konstany si dejte obzvlášť pozor, neboť jak už víme konstanty můžou stát samostatně, a pak jejich deriace je vždy nula, a je jedno jak je číslo veliké tedy derivace miliardy nebo jedné desetiny je vždy nula. Pokud konstanta násobí funkci tak derivace nepodléhá, dalo by se říct že konstantu vytkneme z derivování, poté funkci zderivujeme a výsledek derivace vynásobíme původní konstantou... Umíme taky derivovat vícero funkcí anebo samostatných výrazů, pokud jsou ve formě sčítání nebo odčítání, neboť takhle se věnujeme každé funkci respektive výrazu zvlášť. Dřív než si zavedeme vzorce pro derivaci součinu a podílu, je potřeba si ukázat názorně situaci kdy máme nasobení dvou a více funkcí a kdy nikoliv

Pojďme si rozebrat jednotlivé případy. První případ budeme derivovat jako součet tří výrazů, takže každý sólo zderivujeme, nic složitého, když známe potřebné vzorečky, jakože známe ;) Druhý příklad, je kombinace jak součinu tak součtu, na součin aplikujeme potřebná pravidla,ten součin tedy zderivujeme(zatím však pravidla neznáme) a pak máme jeden součet, takže nezávisle na součinu prvních dvou výrazů doderivujeme součet. Poslední příklad, je příklad, kdy máme čistý součín tří výrazů(v obrázku je uvedeno funkcí, ale je to jen slovíčkaření, v zadání máme jednu funkci kterou sme zadali jakožto tři výrazy, takže tohle neřešte) a na to už musíme použít vzorec pro součin dvou funkcí. Ukažme si tedy ty magická pravidla pro součin a podíl funkcí (výrazů)...

Jak vidíme, tak derivace jak součinu tak obzvlášť podílu je už komplexnější, je to derivování navícekrát. Rozeberme si ale nejdříve součin. Vycházejme ze základní logiky derivace a to, že derivace popisuje průběh funkce a její dynamiku. Co když máme dvě funkce které se navzájem násobí ? tak je jasné že výsledná dynamika tohodle spletence, bude záviset na obou dvou funkcích,otázka jak komplexně. Není to zase tak složité, prostě derivace zjisťuje jak první funkce ovlivní druhou a jak jak druhá prvni, prostě pro derivaci součinu, derivace první funkce ovlivní druhou nezderivovoanou a derivace druhé funkce ovlivní prvni nezderivovanou funkci. Jednoduše zderivujete první funkci, pak vynásobíte původní druhou funkcí a pak tuhle logiku prohodíte, ve smyslu,že první funkci opíšete a vynásobíte derivací funkce druhé. Tyhle dva mezičlánky mají pak mezi sebou znaménko plus neboť se tyto vlivy sčítají... Co se týka podílu, tak selsky když se zamyslíme tak to co je v podílu tak vždy zmenšuje výsledný stav, takže by se dalo říct, že spodní funkce brzdí horní funkci... takže vlivy máme jako u násobení ale nebudeme je sčítat ale odčítat. Navíc do derivace podílu vždy umocněte původní jmenovatel na druhou... není to složité, jen se musí postupovat pomalu a postupně, tak hurá na příklady... ;)

Rozeberme si tedy příklady, u každého příkladu až na jednu výjimku, kde je to uvedeno, se použil vzoreček pro derivaci násobení. U prvního příkladu se nenechte zmást že derivace e na xtou je defacto taky e na xtou, takže to vypadá, že jsem zapoměl derirovat druhý člen součinu, ale opak je pravdou ;) Navíc jsme ještě elegentně ve výsledku derivace vytkli e na xtou, to jsem udělal jen a pouze z estetických duvodů, není to životně nutné ale dokazuje to případně, že matematiku ovládáte nadprůměrně. Třetí a čtvrtý příklad, jsou dobrou ukázkou toho, když derivuje součin, který v zadání je vynásobeny konstantou. U třetího příkladu by jste mohli zapochybovat,jakým číslem násobíme součin když v zadání je mínus, ale když je mínus tak de facto násobíne mínus jedničkou...My víme už z předešlého výkladu, že konstanta pokud v zadání násobí, tak se jí derivování netýká, takže znaménko mínus nebudeme vůbec zahrnovat do derivace, takže si ho osamostatníme, vyrobíme závorku a do závorky napíšeme teprve výsledek derivování !!! To same provedeme se čtvrtým příkladem, v zadání máme číslici deset, která násobí součin, takže desítku dáme samostatně před závorku a taktéž až do závorky napíšeme výsledek derivace !!!. Příklad čislo pět je mírny chyták, jevi se to opticky jako součin dvou funkcí, ale není tomu tak. Proč ? Chce se mi říct protoč ;), ale teď vážně, všimnout si musíme toho, že jak desítka tak holé éčko jsou vlastně konstanty, pozor zde je holé e, což je eulerovo číslo, které nesmíte zaměňovat s exponenciální funkcí e na xtou... takže holé je číslo, desítka taky, takže desitka s éčkem tvoří dohromady taky číslo, a to nám násobí de facto funkci cosinus, takže derivuje jenom cosinus, desítka s éčkem se jenom opíšou....U posledních dvou příkladů,jsem zderivoval pomocí vzorečků pro funkce a pro součin funkcí, navíc jsem derivaci pak mírně upravil. Je na čase si ukázat težší derivace, například derivaci tří funkcí, než začneme derivovat tři anebo vícero funkcí v součinu, musíme si proto přípravit pravidlo.

Pravidla pro derivaci-derivace součinu tří a více funkcí...

Nyní určitě někteří z vás očekávájí další nový vzorec, který nám umožní derivovat tři a případně víc funkcí v součinu. Nic nového pod sluncem neobjevíme, neboť Ameriku jsme už objevili...Pokud máme např tři funkce, tak se na dvě budeme dívat jako na jednu a na třetí samostatně. Zní to celkem nepochopitelně, ale od toho jsou příklady. které si ukážeme. Zaveďme si ale poučku:

Věřím, že z této poučky nejste příliš nadšení,ale je to jednodušší než to vypadá, prostě když je v součinu více funkcí, tak si ten součin rozdělím na dvě části,jakože bublina jedna(respektive funkce jedna:F1)a bublina dva(jakože funkce dva: F2) a derivuju jako součin dvou bublin respektive součin dvou funkcí. To že pod jednou funkcí alias bublinou můžu schovat například funkce dvě, to nevadí, to se projeví až v čistém derivování. Ukažme si ale raději konkrétní příklad.

Prostě a jednoduše, tři a víc funkcí si představíte vždy jako dvě funkce, takže prostě jako F1 a F2, co si představíte za F1 a co za F2 je čistě na vás, zase tolik kombinací nemáme ;) Ja ukážu derivaci všech tří kombinací, ale v praxi si vyberete jen jednu a tu zderivujete !!! Ja udělám všechny tři, tak abys jste viděli,že vždy bez výjimky dojdeme ke stejnému výsledku...Vždy ale derivujeme samozřejmě podle poučky:

Ukažme si tedy, postupně jak bychom zderivovali všechny tři kombinace....

Tak a máme tu pěknou barevnou omalovánku ;)), rozeberu jen první případ. Vše vychází z toho, že si tři funkce představíme jako funkce dvě. Za F1 jsme si tedy zvolili x na druhou krát sin(x) a za F2 jsme si zvolili ln(x). Postupujeme přesně dle vzorečku. Nejdřív zderivujeme funkci F1, co to znamená konkrétně ? Zderivovat funkci F1 znamená zderivovat součin dvou výrazů a to X na druhou a sin(x),což provedeme, a výsledek derivace součinu těhle dvou výrazů máme v složené zelené závorce. V zelené závorce máme tedy výsledek za derivaci funkce F1(to že se uvnitř ukrývá derivace součinu to nás nemůže rozhodit)a tento výsledek derivace F1 vynásobíme funkcí druhou takže F2. V našem případě je funkce F2 definována jako ln(x). Takže první pulku máme hotovou, máme derivaci F1 krát původní F2 a pokračujeme dál, takže dál napojíme pomocí sčítání druhou půlku, tedy původní funkci F1 krát zderivovaná funkce F2. Tím pádem F1 opíšeme a vynásobíme derivací funkce F2, což je de facto derivace ln(X), což po derivaci je výraz jedna lomeno X. Toť vše !!! prostě máme globalní derivaci funkcí F1 a F2, což ale vyvolá potřebu udělat derivaci součinu uvnitř funkce F1, neboť funkci F1 jsme si nadefinovali jakožto součin taktéž. Zkuste si zderivovat ostatní varianty zda vám to vyjde stejně jako mě.Není to těžké, jen je potřeba si na to zvyknout... Při derivaci součinu už by nás nemělo nic překvapit, nicméně jsme dost zanedbali derivaci podílu, taksi pojďme ukázat příklady na derivaci podílu neboli dělení...

Derivace podílu - příklady

Derivace podílu býva o něco náročnější než derivace součinu, ale mnohdy na vás připraví učitelé past, že zadání funkce se sice bude opticky jevit jako derivace podílu ale podíl si budeme moct převést na něco jiného než podíl a tak se derivaci podílu vyhneme. Ukažme si tedy příklady:

Jak již ve výkladu zaznělo, dřív než derivuji tak si můžu funkci respektive výraz upravit před samotnou derivací... takže nebudeme zbytečně derivovat podíl ale zlomku se nějak šikovně zbavíme, abychom to udělali musíme umět velmi dobře pravidla pro úpravy mocnin případně odmocnin. Nyní ale si ale už konečně ukážeme opravdové derivovaní podílu.

Dovolím si uvést na začatek jednu radu podle které by jste měli derivovat podíl. Začínejte vždy jmenovatelem a to tak že jmenovatel umocníte na druhou, pokud nevíte proč, tak se podívejte na obecný vzorec pro derivaci podílu a pochopíte ;) Z původního B se stane B na druhou... Pokud máte gonimetrickou či jinou funkci, tak druhou mocninu připište elegantně k funkci např u sinusu je to jako horní index k písmenu n, před X, ten samý prinicp platí i pro cyklometrické funkce. Více viz obrázek. Pokud se podíváme na poslední příklad, zde jsem jsem umocnil už rovnou původní X na sedmou pomocí druhé mocniny a vzniklo mi X na čtrnáctou. Neboť když umocňujeme mocninu mocninou, tak se eponenty násobí a dvakrát sedm dá čtrnáct. Je samozřejmostí, že musíte umět derivovat základní funkce, pomocí kterých složíte derivaci kompletního podílu podle patřičného pravidla. Postupujte pomalu a mějte na paměti, že čitatel derivace podílu je defacto ten samý jako derivace součinu ale u součinu se funkce navzájem ovlivňují kladně, proto se sčítaji i dílčí derivace, a u podílu se dílčí derivace odčítají, neboť funkce se navzájem jakože brzdí... Nyní by jste mohli nabýt dojmu,že umíme derivovat jakoukoliv situaci,už jsme si ukázali dostatek pravidel a příkladů, ale to hlavní jestě pořád nepřislo. Ne že bych na vás měl v zásobě dalších několik desítek vzorečků, ale my musíme začít derivovat kvalitativně složitější funkce a to jsou funkce složené... zatím sme derivovali jen funkce které byly na první mocninu anebo měli vstup v podobě čístého X, což je plus jedno X na první... Realita může být mnohem komplikovanější a je na čase si ukázat jak se derivují funkce složené...

Pravidla pro derivaci-derivace složené funkce

Jak již stručně zaznělo, je na čase si ukázat krasu derivací v plné kráse. Prozatím jsme derivovali funkce bez komplikací, můžeme tyto typy funkcí nazvat jako funkce základní. Na každou základní funkci by jste mělí znát vzoreček. O co tedy jde ? Základní funkcí mám na mysli např. sinus či cosinus anebo přirozený logaritmus. Všimněte si také že funkce základní ma vždy bez vyjímky vstup čisté X. Zavedeme si další pracovní pojem a to je čisté X. Pod čistým X budeme mít na mysli, plus jedno X na první, neboli X. Pojem čisté X je jen terminologie autora easymatu, tedy mé maličkosti ;) takže tento termín nemusí byt oblíben zrovna u vašeho učitele, ale pro další výklad a bezproblemové pochopení je tento pojem klíčový, zavedeme si tedy poučku co to je čísté X.

Proč je nutné rozlišovat mezi čistým X a jakýmkoliv jiným ? Jsme v derivacích a derivace modeluje dynamiku funkce a každá funkce má nějaký vstup, zatím jsme uvažovali,že do funkce vstupuje jen a pouze čisté X a pro takové funkce máme vzorečky, pomocí kterých zderivujeme. Otázka co se stane s funkcí, když místo čistého X tam vstoupí cokoliv jiného. Např tři X. Představte si goniometrickou funkci sinus,do které vstupuje 3X. Otázka je zda se tato funkce bude chovat jinak než základní sinus do kterého vstupuje čisté X. Odpověd je že ANO !!!, je to logické tyto dvě funkce se bodou lišit celkem zásadně ve svém průběhu. Co na to derivace ? Když se liší dynamika funkcí musí se lišit i derivace !!! Takže už nebude stačit zderivovat funkci sinus jako takovou ale budeme muset brát v potaz i vstup do funkce. Ukažme si ale reálný průběh funkce sinus X a sinus 3X. Ono jeden obrázek je lepší než tisíc slov ;).

Obrázek je jednoznačný, funkce sinus 3X je de facto třikrát rychlejší než základní sinus X. Nenechte se zmást spodní osou, kde nejsou klasické stupně ale oblouková míra. Základní funkce sinus X ma periodu 2pí, což je matematicky něco málo přes šest, neboť jedno pí je hodnota 3,14. Neřešte ale čísla, řešte grafy. Prostě funkce sinus 3X je třikrát rychlejší a otázka je jak se to projeví v derivaci. Použijeme selský rozum, takže derivace jelikož odráží rychlost funkce, tak se podřídí realitě a musí tedy být třikrát větší.Zatím ale neumíme takovou funkci zderivovat, mám na mysli sinus 3X,neboť známe pravidlo jen pro základní sinus čistého X... Zapamatujte si tedy, že pokud budeme derivovat složené funkce musím derivovat nejenom funkci jako celek ale i její vstup !!! To si ale rozvedeme, zaveďme si ale nyní definici jak poznáme vlastně fuknci složenou od funkce základní. Bude to opět definice ala EASYMAT, takže je možné že staré školní kádry ji nebudou akceptovat, ale definice bude pracovní verze abychom pochopili celou problematiku složených funkcí.

Definice je celkem záludná, ale realita je jednodušší než to může vypadat. Prostě máme základní funkci a cokoliv jiného je funkce složená. Ukážeme si pár příkladů, aby to bylo jasnější.

Důkladně si projděte všechny uvedené příklady a mějte na paměti, že funkce složená má jiný vstup než čisté X,do vstupu jedné funkce můžeme dát další funkci. Je to krásně vidět na příkladech. Jen se nenechte zmást tím, když konstantou vynásobíme základní funkci,tak máme opět základní funkci. Kvantitou prostě kvalitu nezměníte... ;) A navíc víme, že když konstanta násobí funkci tak derivaci nepodléhá... Pozor ale na mocninu, na mocninu se dívejte ze všeho nejdříve, pokud je funkce na jinou než první je to automaticky funkce složená a je jedno jestli máme na vstupu do funkce čisté X či nikoliv... Mocnina je nejduležitější pro funkci,taky se dá říct že nejvíc rychlost funkce právě ovlivníte mocninou, takže derivace jde nejdříve po mocnině...Už bychom mohli pomalu ale jistě začít derivovat, ale napišme si ješte pár pouček:

Jak jsem již napsal, kontrolujte si mocninu kterou je funkce umocněna, u funkce základní je totiž taky mocnina, ale nepíše se, proc ? Protože základní sinus x je prostě sinus na první... Platí to obecně pro jakýkoliv výraz respektive funkci. Ono na to jsme již si zvykli, když jsme derivovali X na nějakou mocninu,tak jsme vlastně okamžitě sáhli po mocnině a sundali ji před výraz... De facto to samé budeme dělat i s mocninou u funkce, kdy začneme tím že mocninu sundáme před funkci a poté hodnotu mocniny snížíme o jedničku, staré dobré pravidlo se nám vrací... Derivace složenách funkcí není složitá ale musí se respektovat pravidlo, že na jedno derivovaní zderivujeme jen jednu vrstvu složené funkce. Osobně to nazývám principem cibule. Představte si že postupně krájíte cibuli tak, že odstraníte jednu vstvu cibule, tedy jednu její slupku respektive obal. Něco podobného budeme dělat při derivací složene funkce. Udělejme si tedy další pravidlo:

Princip derivace složené funkce není složitý ale vždy mějte na paměti, že se derivuje postupně, nemůžete zderivovat složenou funkci jedním tahem. Nejřív jdeme po mocnině, pak po funkci a pak po jejím vstupu, a teď otázka je, zda vstup do funkce je opět funkce která obsahuje třeba zase nějakou mocninu či jen čisté x, variant je velmi mnoho. Vše začne být jasnější až si ukážeme nějaké příklady.Pojďme na to...

Takže pěkne pomalu a postupně. První příklad, má ve vstupu do funkce něco jiného než čisté X, takže budeme derivovat na vícekrát. Mocnina celé funkce je na první, takže jdeme rovnou po funkci.Ze základních pravidel víme že sinus se derivuje jako cosinus,takže to provedeme. Všimněte si že, teď derivuju funkci a ne vstup do funkce, takže sinus sice překlopíme na cosinus ale nesmímě nic udělat se vstupem.Vstup zderivujeme až v další fázi. Jednotlivé fáze napojíme na sebe pomocí operace násobení. Takže chyba by byla kdybychom zderivovali v jednom zátahu jak funkci tak její vstup... Prostě postupně a pomalu, po vrstvách. První příklad má vrstvy dvě a to funkci a vstup, takže budeme derivovat nadvakrát. Druý příklad ma taky dvě vrstvy, funkce a vstup. Nejříve tedy změníme funkci tedy sinus na cosinus, na vstup nesaháme pří první vrstvě !!! a poté napojíme pomocí násobení derivaci vstupu, takže tři x na druhou se zderivují jako šest X na první. Jsou dvě vrstvy takže budou dvě derivace, ani víc ani míň...Poslední tedy třetí příklad má vrstvy tři, mocninu, funkci a vstup...Takže nejřiv jdeme po mocníně, takže na funkci ani na její vstup nesaháme v prvním kole !!! Klasicky sundáme mocninu před funkci, původní mocninu snížíme o jedničku,takže v našem případě z druhé mocniny se stane mocnina první... pak sáhneme na funkci(na vstup zatím NE !!!), taže se sinusu máme cosinus s původním vstupem, a nakonec sáhneme na vstup a ten zderivujeme...Postupně a pomalu a je to easy. Určitě je potřeba si ukázat vícero příkladů...tak pojďme na ně...

První dva příklady jsou defacto skoro stejné, bude vrstva za mocninu, pak za funkci a v druhém příkladu taky vrstva za vstup, takže u druhého příkladu budeme derivovat natřikrát. Výsledek u druhého příkladu sem přepsal do profi formy, druhou monicnu u sinusu sem připsal do sinu ke písmenu n, a mínus které stálo na konci sem přesunil k trojce na začátek...co se týká třetího příkladu, tady budou vrstvy dvě a to že přirozený logaritmus zderivujme podle poučky že vstup jde do jmenovatele, a pak ješte extra za to zderivujeme i vstup do funkce. Tady je jedna zajimavá vlastnost, že konstanta která násobí uvnitř logaritmu tak se v rámci derivování eliminuje, takže výsledem je tedy výraz jedna lomeno X. Je tedy jedno jesti máme uvnitř čisté X či jiou konstantu než plus jedna... ale vy musíte derivovat jako složenou funkci, a teprve po derivaci se konstanta ze vstupu navzájem vyruší... Ukažme si další a složitější příklady.

Nejřív si ujasněme vrstvy.Začneme mocninou, pak funkcí tedy logaritmem, pak prvním vstupem , což je ale funkce, a pak vstupem druhým který je v sinusu. Takže celkove budeme tedy derivovat čtyřikrát !!! a postupně.... a dílčí vrstvy napojujeme pomocí násobení... Takže sundáme sedmou mocninu před logaritmus a nová mocnina je na šestou, vše ostatní opíšeme !!!,pak jdeme zderivovat funkci logaritmu, a to tak že to je jedna lomeno vstup do logaritmu, což je ale další funkce, nevadí na ten vstup alias na další funkci tedy sinus dojde až v další fázi. Další fázi napojujeme pomocí násobení,takže derivace sinus tří X je cosinus tří X a zakončíme to derivací vstupu druhého, tedy vstupu do sinusu a to tak že derivace tří X je hodnota tři. Zde to ukončíme neboť další vrstvu nemáme...Ještě jsem udělal škatulata hejbejte se, a trojku z konce derivace sem použil a pronásobil sedmičku, takže to dá dvacet jedna na začátku, a pak sem to celý smrskl ;) Další příklad:

Tento příklad není těžký ale pozor na jednu věc, začneme sundáním mocniny pro celou závorku, sedmička jde dolů,celou závorku zatím opisuji a nová mocnina je šestka.Nyní začneme derivovat vnitřek závorky,z X na pátou je pět X na čtvrtou a pak jdeme na sinus, ale pozor ten musíme derivovat nadvakrát, nejdřív funkci a pak teprve vstup a pozor derivace vstupu do sinusu, tedy mínus čtyři násobí jen derivaci funkce sinus tedy cosinus, chyba by byla kdyby jste násobili mínus čtyřkou celou závorku !!! Jestě jednou, mínus čtyřka je výsledek derivace vstupu do funkce sinus, takže bude tato mínus čtyřka násobít první vrstvu derivovaní za sinus...Ukažeme si další příklady, ty ale již detailně probírat nebudu.

U prvního příkladu stačí nezmatkovat se zápornou mocninou, z hlediska derivace se záporná mocnina derivuje stejně jako kladná, žadný rozdíl, jen pozor abyste snížili správně o mínus jedna, z mínus šest se nám tedy stané mínus sedm.Další dva příklady jsou na odmocniny, a vždy si pamatujte že odmocniny derivujeme jako mocniny !!! Prostě když je něco v nejaké odmocnině, tak před samotnou derivací obsah odmociny napíšu do závorky a tu umocním takovým exponentem aby to odpovídalo původní odmocnině.Jednoduše tedy druha odmocnina je de facto exponent na jednu polovinu a třetí odmocnina je exponent na jednu třetinu... pak derivujeme klasicky že sundáme exponent, snižíme o jedničku a pak derivuju vnitřní obsah závorky, prostě easy ;) Jedeme dál...další příklady:

Tyto tři příklady si probereme ještě detailně. První příklad je šablona na mocninou funkci,kdy základ který je v podobě nejakého čísla je umocněn proměnnou v různé podobě, v našem případě máme číslici tři umocněnou proměnnou v podobě sinusu se vstupem x na druhou... Zapamatujte si že derivace exponenciální funkce je opět ta samotná nezměněná exponenciální funkce ale vynásobená derivací toho co je exponentu. Jelikož s exponentu máme sinus vstupu X na druhou tak derivace exponentu je cosinus vstupu X na druhou krát dvě X, což je derivace vstupu samotného. Pozor na závěr nezapomeňte vynásobit logaritmem číslice v základu, takže máme ln tří... kdyby bylo v základu eulerovo číslo, tak by jste sice mohli ještě nakonec vynásobit ln eulerova čísla, ale to je jednička a násobit jedničkou nemá smysl ;) takže když máme náhodou e na nějaký exponent s proměnnou, je to e na původní exponent krát derivace exponentu. Pojďme na další kousek, máme v zadání celkem neobvyklé přirozené logaritmy, první je logaritmus celý na druhou a my už dobře víme, že mocnina jde jako první, takže sundáme dvojku, dodáme nahoru jedničku a navíc doderivujeme obsah závorky, což je lnx a derivace lnx je tedy jedna lomeno X. Druhá část je zajimavější,neboť logaritmus má na vstupu další logaritmus. Ale držme se základní poučky, že derivace logaritmu je jedna lomeno vstup do logaritmu krát jako celek derivací vstupu samotného... Takže holt začneme že napíšeme jedna lomeno vstup, což je lnx, krát derivace vstupu, což je jedna lomeno X. Pak to celý trochu zcvrkneme a hotovo ;) Třetí příklad, je opět klasika na přirozený logaritmus, takže píšeme jedna lomeno původní vstup, krát za to solo derivace vstupu, derivujeme tedy e na xtou, což je e na xtou a pak derivujeme ještě e na mínus xtou, což je e na mínus xtou krát derivace exponentu, což je mínus jedna....Zdálo by se, že už končíme ale není tomu tak, na konec jsem si pro vás přichystal perličku a to derivaci funkcí kde proměnná je jak v základu tak v exponentu...

Pravidla pro derivaci-derivace funkce s proměnnou v základu tak exponentu

Co to je extravagantní funkci která obsahuje proměnnou jak v základu tak exponentu ? I takové holt jsou.. je to prostě případ jako kdyby byla funkce na funkci, ale zapamatujte si pravidlo,že takový typ funkce převádíme na funkci exponenciální pomocí jednoduchého triku, ktery si ukážeme jako pravidlo:

Celý vzoreček vypadá na první pohled příšerně, ale není tomu tak. Je to celkem jednoduché, prostě původní zadání funkce bude poté eulerovo číslo s novým exponentem a ten bude složen jako součin původního exponentu krát ln základu. Jakmile provedeme tuto transformaci, tak máme de facto proměnnou jen a pouze v exponentu,kdežto dole je jen číslice a to konkrétně eulerovo číslo. Nezapomeňte ale že e na exponent se derivuje jako opět e na exponent a celé krát derivace exponentu. Určitě je potřeba si ukázat nějaké příklady, ať jsme v obraze... Nejdříve si ukážeme příklady na tranformaci původní funkce a až teprve pak budeme derivovat

Opticky to vypadá jako magie či něco extremně složitého ale není, prostě je určitá šablona a podle ní postupujeme... cílem je tedy mít základ čistě o eulerovém čísla a zbytek nacpat do exponentu, kde vlastně použijeme tu původní funkci,logaritmus zhltne prapůvodní základ a prapůvodní exponent jde před logaritmus... teď jen správně zderivovat tuto obludu.. pripomeňme si ted radši znova šablonu jak se derivuje složená funkce e na exponent...

Logika je jednoduchá derivace e na jakýkoliv exponent tedy rádoby e na cibuli tak derivujeme tak že opíšeme původní funkci a napojíme za to do součinu derivaci cibule tedy exponentu... ukažme si příklady...

Pojďme na první příklad, při derivaci tedy opíšeme původní funkci a začneme posléze derivovat její exponent, což je ale pozor součin dvou funkcí !!!, na to si uděláme závorku a derivujeme součin podle známeho pravidla, jen pozor, derivace původního exponentu již napojujeme klasicky do násobení takže původní e na cibuli jako celek začneme násobit derivací exponentu... derivovat součin už umíme takže by to neměl být problém... Co druhý příklad ? Z hlediska principu to samé, derivaci začneme opsáním původní funkce včetně exponentu, a pak násobíme zderivovaným součinem. Máme tu cyklometrickou funkci ale to nás nesmí překvapit,neboť i na tu známe vzorec....to je vše co se týká obecného derivování. Víc poznatků přinese až kapitola využití derivaci v praxi, kde už budeme derivace vyčíslovat, zatím jsme jen derivovali a zderivovanou funkci nechali odpočívat a nic dalšího jsme neprováděli.

-------------------------------------------------------------------------
created by MSE - xmse@seznam.cz