Vítejte v sekci "Logaritmy". Logaritmy jsou obecně nepopulární téma a opět se v něm delá neuvěřitelná spousta chyb. Samozřejmě není k tomu důvod. Nicméně logaritmy jsou úzce spjaty s mocninami, takže musíte umět perfektně všechny pravidla pro počítání s exponenty a teprve poté je možné začít studovat látku logaritmů. Pokud chcete bezproblémově ovládat logaritmy, musíte chápat proč existují, proč tedy vůbec zavádíme logaritmy do praxe... To je ta krása matematiky,že nutí člověka přemýšlet ;)
Nejdříve si uvědomte,že logaritmus používáme primárně proto,že chceme něco zlogaritmovat,což je nejčastěji číslo nebo písmeno(matematicky řečeno proměnná). To však pořád není odpověď proč vlastně chceme vůbec něco logaritmovat.Teď i pomineme to, že spousta vztahů v technice a jinde založena na logaritmech, ukážeme si elementární příklad. Nejprve si představíme nějakého bankéře, který vydělává astronomické peníze, řekneme že má na svém kontě majetek v hodnotě 30 nul... Kdybychom takový majetek chtěli napsat na papír musíte napsat jedničku a poté 30 nul... dost úmorná práce,takže kdybychom zlogaritmovali majetek bankéře, tak nám vyjde hodnota resp. číslice 30. Takže místo toho abychom popsali celou A4 papíru 30 nulami,je daleko efektivnější hodnotu zlogaritmovat a poté psát holé číslo 30... jde o efektivitu. Jak už sami cítíte, logaritmus bude mít něco dočinění s mocninami respektive s řády... to už bylo i naznačeno v kapitole "exponenty, mocniny". Druhý příklad,by byl příklad fyzika,který zkoumá částice o extremně malých rozměrech, řekneme např. o rozměru jedné biliontiny,což je 10 na mínus 12, místo toho abychom se lopotili s takovým zápisem stačí tu velikost zlogaritmovat, a ve výsledku bychom měli číslici "-12". Jak je již možná patrné, logaritmus se dívá na všechna čísla resp. písmena(proměnné) optikou exponentů neboli jinak řečeno řádu. Prostě logaritmus vidí milion jakožto šestku, protože milion je řád šest. Logaritmus vidí hodnotu jednu tisícinu jakožto číslici mínus tři,protože řád mínus tři de facto charakterizuje tisíciny,viz předchozí kapitola o exponentech,mocninách.Proto si zapamatujte pravidlo:


Ukažme si tedy ještě pár dalších příkladů:

Ukažme si tedy jak je možné, že logaritmus tisíce je plus tři neboli tři, a že logaritmus jedné tisíciny je mínus tři. Je to jednoduché, tisíc je pro logaritmus je de facto deset na třetí a tisícina deset na mínus třetí, a již víme, že logaritmus se zajímá neboli sebere logaritmované číslici exponent neboli řád viz další obrázek.


Vše je tedy v souladu se zlatým pravidlem, že výsledek logaritmu je de facto řád původního čísla, takže řád tři poukazuje na původní tisícovku a řád mínus tři poukazuje na původní jednu tisícinu.Možná neuškodí si představit fungování tak,jakože logaritmus sebere jen a pouze smetanu,tzn. to co je nahoře...
Nyní by jste mohli nabýt falešného dojmu, že můžeme logaritmovat jen a pouze rozvoje desítek. Není tomu tak samozřejmě, desítková čísla typu tisíce a tisíciny sem použil jen jako názornou ukázku, jsou to nejlepší tréninková čísla. Proto si obecně zapamatujte:


Takže máme jasno, logaritmus dokáže spočítat řád jakéhokoliv čísla, ale to číslo musí být kladné, to znamená větší než nula, nulu samotnou logaritmus nedokáže zlogaritmovat, vrátil by error.Ukažme si tedy další příklady:


Poďme si tedy rozebrat jednotlivé příklady. Logaritmus 33, jelikož hodnota 33 je v řádu desítek, je jasné že i výsledek logaritmu, bude postaven na jedničce, nicméně hodnota bude vetší než jedna ale samozřejmě musí být menší než 2. Tím končí selská úvaha a konkrétní výsledek si musíte spočítat na kalkulačce. To samé platí pro hodnotu 444, jsou to stovky, takže výsledek bude převyšovat hodnotu 2, ale bude menší než 3, neboť tisíce nemáme. Opět konkrétní výsledek spočítáme jen a pouze pomocí kalkulačky.
Další dva příklady jsou již trochu náročnější na pochopení, ale vše vychází z řádů, jak jsme si uvedli.Příklad, kdy logaritmujeme hodnotu 0,5 si de facto představte jako kdybychom logaritmovali hodnotu 0,1 , logaritmus hodnoty 0,1 by byl výsledek neboli řád -1, neboť deset na mínus první je jedna desetina. Je jasné že řád hodnoty 0,5 musí být taky záporný a konkrétní hodnotu dodá opět kalkulačka. Co se stane pokud začneme logaritmovat jedničku. Určitě řád musí být menší než jedna, neboť jednička v řádu znamená jedničku v exponentu a to by bylo 10. Tuhle situaci si odvodíme komplexněji, a to z pravidla , že cokoliv na nultou je jedna,opravdu cokoliv !!! My se pohybujeme ve světě desítek, takže i desítka na nultou je jedna !!! Udělejme si z tohodle faktu pravidlo:


Podle zmíněného pravidla, je tedy jasné že jednička jako číslice, je defacto řád nula !!!, takže výsledek logaritmu je tedy nula.
Další příklady okomentuju již jen stručně, nulu samotnou ani záporné číslo nejde zlogaritmovat, takže na kalkulačce by se objevila notoricky známá hláška error.Důkladně tedy odlišujte situaci, kdy nulu nebo záporné číslo logaritmujeme(což nejde) a kdy nula či záporné číslo je výsledkem logaritmování,a jak víme záporné řády i řád nula existuje...

Proveďme si nyní analýzu toho co umíme, víme jaká čísla dokáže logaritmus zlogaritmovat a tedy i jaká nedokáže, dále pak víme o čem vypovídá výsledek logaritmu,že to je de facto řád neboli mocnina původního logaritmovaného čísla, a že řády alias výsledky logaritmu můžou být klidně i záporné. Navíc řád nula lze taky definovat a charakterizuje zpětně číslo jedna, neboť cokoliv na nultou je jedna. Uvedli jsme si několik příkladů a pokud bylo logaritmované číslo nějaký násobek desítky, šlo výsledek logaritmu určit zpaměti. Nicméně zamysleme se,doposud veškerý výklad byl založen na tom, že logaritmus se na každé číslo dívá optikou desítky v jakém desítkovém řádu se logaritmovaná číslice nachází, takže konkrétně hodnota tisíc je v desítkovém světe de facto řád tři, takže i výsledek logaritmu musí být tři. To samé platí pro jednu tisícinu, neboť v desítkovém světe jedna tisícina je řád mínus tři, takže i výsledek logaritmu poté byl mínus tři. Položme si otázku, zda se na každé logaritmované číslo musíme dívat jen a pouze optikou desítek... Odpověď zní ne !!!. Optiku neboli svět ve kterém se pohybujeme si můžeme zvolit, a to volitelnou součástí logaritmu, která se nazývá základ. Doposud jsme tedy pracovali se základem deset a brali sme to jako jedinou možnou situaci. Pokud pořád nechápete o čem je řeč, tak ještě jednou, počítali sme logaritmus tisícovky, a tu jsme posuzovali z hlediska desítek, s tím že tisícovku jsme mohli psát jako deset na třetí a pak výsledek byl tři. To že jme každou číslici posuzovali jako desítkový ne jiný řád, byla naše volba, neboť sme si základ deset nadefinovali, resp. já jsem ho nadefinoval jakožto ideální tréninkový základ. Obecně však základ může být libovolné kladné číslo kromě jedničky,udělejme si tedy pravidlo:


Co dodat, kladné číslo je větší než nula, a nesmíme použít jedničku. Ukažme si tedy kompletní konstrukci logaritmu:


Ješte jednou se zamyslete jakou roli plní základ u logaritmu, základ je tedy optika jakou se logaritmus dívá na logaritmované číslo, resp. určuje číslo, které je určující pro řád logaritmované čísla. Desítka je nejlepší a zároveň nejvíc užívaný základ, takže každé číslo posuzujeme jakožto desítkový řád...Pokud je základ deset, nemusíme ho psát, pozor pokud by to byla jiná číslice, tu už musíme psát do spodku logaritmu !!! Možná jste si všimli na kalkulačce tlačítka LOG, to je vlastně případ kdy máme logaritmus se základem 10, a každou hodnotu kterou budete logaritmovat podle kalkulačky tak budeme posuzovat z hlediska desítkových řádů !!! Ukažme si příklady se základy jinými než 10 abychom pochopili význam základů logaritmu:


Při hledání výsledku logaritmu, vlastně hledáme řád neboli exponent logaritmovaného čísla. Často pomůže taky postup, kdy se vlastně ptáme, základ na kolikátou(na jaký exponent resp. řád) je logaritmované číslo ? V prvním příkladě bychom se tedy ptali, dvě na kolikátou je osm ? Musíte samozřejmě vědět,že osm je de facto dvě na třetí, a tudíž exponent tři je výsledek logaritmovaní... Druhý příklad, jak se zeptáme ? Dvě na kolikátou je jedna osmina, osmičku vyrobíme pomocí trojky a jelikož je to zlomek, tak základ se přesunul do jmenovatele, tak výsledný exponent nebude plus tři (protože to by dalo celých osm), ale mínus tři jelikož osmička ještě jednou připomínám je ve jmenovateli-máme jednu osminu.Dále pak se nenechte zvykat tím, že v dalším příkladu logaritmujeme jedničku, jedna jsme si řekli je de facto libovolná číslice na nultou, takže na otázku dvě na kolikátou je jedna,existuje pouze odpověď, dvě na nultou je jedna, takže výsledek logaritmu je tedy nula... Pro jistotu ještě rozepíšu rozvoj mocnin pro dvojku:


Co dodat, nejlépe umět zcela zpaměti rozvoj dvojky jak v kladných tak záporných exponentech neboli řádech. Zkuste si ten samý rozvoj vyrobit sami pro hodnotu 1/2 neboli jedna polovina. Poté si projeďte znova výpočty logaritmu při základu dva a jedna polovina a zjistíte že vše do sebe krásně zapadá ;) Nyní opět přichází čas na to, abychom se zbavili dalšího falešného dojmu... Mohlo by se totiž zdát,že na světě existují jen a pouze logaritmy zapisované pomocí zkratky "log", není tomu tak. Obecně logaritmy ať už při základu 10 či jiném,nejsou de facto důležité. Celá vysokoškolská matematika , či profesionální věda používá jen jeden logaritmus a to logaritmus přirozený. Co pak je to za tajemný logaritmus ? Je to takový logaritmus, jehož základ je tvořen Eulerovým číslem... Co je Eulerovo číslo ? Pro běžné čtenáře, stačí si zapamatovat hodnotu Eulerova čísla, které mimochodem značíme malým psacím "e"...


Při aplikaci v logaritmu tedy plyne...


Jak jsem již, uvedl profesionálové používají přirozené logaritmy, nicméně na střední škole, se nejčastěji setkáte s logaritmy se základem deset nebo jinou číslicí, takže pokud studujete střední školu, doporučuji se koncentrovat na logaritmus se základem deset. Nicméně zpět k logaritmu přirozenému. Ten má jednu velkou nevýhodu, a to , že nejde v drtivé většině spočítat zpaměti. Proč ? Protože, řády za Eulerovo číslo jsou příšerná čísla na zapamatování, navíc to nejsou čísla ukončená, neboť i Eulerovo číslo samotné je číslo neukončené... Namátkou, e na druhou je 7,389 a e na minus druhou je 0,135... takže hodnoty které si těžko zapamatujete..Jediná příjemná situace na zapamatování je e na nulu, což je jedna !!! Pamatujte, že libovolná číslice na nulu je vždy bez výjimky jedna !!!
Ukažme si tedy příklady z praxe:


Proberme si nejdřív první tři příklady, kdy logaritmujeme číslo e s exponentem, který je záporný. Jak víme výsledek jakéhokoliv logaritmu je vždy exponent původního čísla,samozřejmě vztaženo na konkrétní základ logaritmu, tak v našem případě výsledkem logaritmu jsou exponenty, které opíšeme z logaritmovaného čísla. Dobré je pochopit celou logiku abstraktně, tzn. tak jak do ukazuje další příklad, kdy logaritmujeme číslo v podobě e na exponent, v našem případě máme exponent kiwi, takže ať je exponent jakýkoliv, stačí ho v této situaci vzít a máme de facto výsledek logaritmu !!! Bystřejší z vás už tuší dopředu, že abychom dostali jako výsledek logaritmovaní pomocí přirozeného logaritmu pěkné celé číslo musíme logaritmovat nějakou kombinaci čísla e s libovolným exponentem, prostě ve smyslu, kdykoliv logaritmujeme e na kiwi tak výsledek je kiwi, takže stačí přepsat původní exponent. Do kontrastu si vemte další příklad, kdy logaritmujeme v ln číslici 10, číslici 10 nemůžeme elegantně přepsat na formát e na kiwi, takže nám nezbývá nic jiného než výsledek dopočítat pomocí kalkulačky. Jen upozorňuji nacházíme se v přirozeném logaritmu o základu e. Poslední příklady jsou již jen na zmatení nepřítele, pokud logaritmuju jedničku, tak je vždy výsledek nula a nezáleží v jakém typu logaritmu(rozuměj s jakým základem), danou jedničku logaritmujeme.Neboť místo jedničky můžu psát jakoukoliv číslici na nultou, takže e nevyjímaje, takže výsledek je tedy dle šablony naše kiwi, neboli exponent neboli nula... Pokud logaritmujeme čisté e, tak čisté e je de facto, e na první, takže opět je výsledkem kiwi neboli konkrétně exponent u logaritmovaného e, takže tedy prakticky jednička... Samozřejmě už neuvádím,případy kdybychom logaritmovali nulu nebo záporné číslo, to bychom skončili s výsledkem "error",neboť ani po 20 pivech nesmíte zapomenout,že logaritmovat můžeme jen a pouze kladná čísla !!!
Nicméně jak už asi tušíte, cele logaritmování nebude v praxi, tedy v písemce tak jednoduché, neboť zatím nám stačilo většinou opsat exponent a výsledek byl na světě... Většinou se objevují takové případy, které je nutné nejdříve nějakým způsobem upravit a teprve potom logaritmovat. Většinou je tak testováno na žácích, zda umí perfektně pravidla pro exponenty neboli mocniny...Takže pokud máte mezery v látce, mocniny a odmocniny, tak si nastudujte předešlou kapitolu.Nicméně ukažme si opět praxi:
Ukažme si tedy příklady z praxe:


Takže zamysleme se,jak na nám celou látku logaritmů, můžou učitelé znepříjemnit,naštěstí až zas tak moc ne, maximálně nám budou dávát na logaritmovaní neupravení kombinace čísla e různě v odmocninách a mocninaách. Pokud umíte všechny pravidla pro úpravy mocnin a odmocnin, tak by vás dané příklady neměly zaskočit.Jen malá po známka k spolednímu příkladu, začněte odstraňovat odmocniny přecodem na mocniny a pak dostanete situaci schodů kdy máme e na polovinu a tento celý výraz ještě na polovinu. To je pravidlo schodů, takže exponenty se násobí a polovina krát polovina je jedna čtvrtina !!! Nicméně dál se zamysleme procesně, jak postupovat. Nejdříve je nutné logaritmované číslo(výraz), upravit tak abychom měli de facto šablonu e na kiwi, kde výsledkem je vždy exponent od e, tedy kiwi ;) udělejme si z tohohle postupu pravidlo:
Ukažme si tedy příklady z praxe:


Toto pravidlo funguje univerzálně, jen si vzpomeňte jak jsme si mohli upravit logaritmus tisíce, tedy log(1000), tak že sme tisíc přepsali jakožto deset na třetí, takže výsledek logaritmu byl tedy tři. Nicméně spíš se koncentrujte na situaci v přirozených logaritmech, kterou jsme si ukázali na příkladech, kdy jsme nejdřív e s mocninami a odmocninami převedli do šablony e na kiwi... Nezapomeňte však na selský rozum, logaritmované číslo upravujeme, jan tehdy na tvar základ na exponent pokud to má smysl nebo pokud se to vyplatí. Co tím chci říct je to, že pokud budeme např. logaritmovat situaci ln(55), tak je jasné přece, už dopředu, že číslici 55 nikdy nepřevedeme na formát e na kiwi,a že musíme sáhnout po kalkulačce a logaritmus zjistit strojově...

==============================================================


Uvědomme si ale nyní co zatím z logaritmů umíme a známe. Snad už chápeme jak pracuje logaritmus,to že potřebuje nějaký základ pomocí kterého zkoumá řád logaritmovaného čísla by nás už nemělo překvapit. Nicméně, zatím jsme logaritmy vždy a pouze vyčíslovali, protože jsme logaritmovali konkrétní čísla. S logaritmy můžeme taky pracovat obecně ve smyslu, že můžeme upravovat logaritmy s výrazy, takže nebudeme logaritmovat číslice ale výrazy, což bude ve většině případů proměnná neboli písmeno, třeba X.Pro další práci budeme potřebovat se naučit pravidla pro úpravy zejména vícero logaritmů.Tyto pravidla fungují pro libovolný typ logaritmu, ať už dekadický či s jiným základem než 10, např. pro logaritmus přirozený. Pojďme si je tedy ukázat:

Pravidlo číslo 1:převod mocniny před logaritmus:

Toto pravidlo se týka úpravy jednoho logaritmu a zejména mocniny logaritmovaného čísla, které bude zadáno pomocí proměnné.


Pokud logaritmovaný výraz obsahuje mocninu, je možné mocninu vyvést z logaritmu, a jako samostatnou číslici postavit před logaritmus. Pravidlo je triviální, ale nesmí se zmatkovat, nemámě v logaritmu konkrétní číslici ale proměnnou X a tak se snažíme logaritmus upravit, což nám může mnohdy zjednodušit život v logaritmických rovnicích !!! Opět, tedy je cílem úpravy zadání jen a pouze zjednodušit, nic nevyčíslujeme !!! Ukažme si další ukazky praxe:


Co dodat, nejdřív si pěkně upravte exponent u proměnně neboli u X, a poté exponent přesuňte ven před logaritmus. Pokud pořád nechápete,proč logaritmy upravujeme respektive co nám to přinese, zkuste se podívat na následující situaci:


Co jsme tedy udělali, v zadání jsme měli tři samostatné logaritmy,a každý obsahoval uvnitř proměnnou s různou mocninou, jelikož jsme mocniny vyvedli z logaritmu resp., před logaritmus tak jsme dostali logaritmy stejné kvality, tzn. logaritmy u kterých logaritmované číslo je v podobě proměnné X, a tak můžeme logaritmy sečíst kupecky jako hrušky, ve smyslu, mám 2 hrušky, 3 hrušky a pak ještě půl hrušky. Kolik mám tedy hrušek ? no přece 5,5 což můžeme přepsat do formy zlomku jako 11/2. Takže místo 3 logaritmů máme jen jeden logaritmus !!!

Pravidlo číslo 2:převod součinu logaritmovaných čísel na součet logaritmů:

Opět si uvědomte, že nyní jen logaritmy upravujeme a nic nevyčíslujeme, budeme mít tedy situaci kdy jeden logaritmus uvnitř má logaritmované číslo ve formě násobení.


Prostě si stačí zapamatovat pravidlo, že součin uvnitř (jednoho) logaritmu,můžeme nahradit součtem vícero logaritmů-záleží kolik členů se nám násobí v původním logaritmu. V našem případě se násobí desítka a X, takže převedeme na 2 samostatné logaritmy, které sčítáme,navíc log(10),můžeme vyčíslit do výsledku jedna...

Pravidlo číslo 3:převod podílu logaritmovaných čísel na rozdíl logaritmů:

Podíl logaritmovaných výrazů uvnitř jednoho logaritmu,můžeme převést na rozdíl vícero logaritmů.


Opět není co dodat, prostě dělení uvnitř logaritmu nahradíme rozdílem(odčítáním) samostatných logaritmů....
Zapamatujte si však, žš všechny tři pravidla pro úpravy logaritmů fungují obousměrně, tzn. že pokud můžeme mocninu z logaritmu přepsat jakožto číslici před samotný logaritmus jde to i nazpět,takže jakoukoliv číslici před logaritmem bychom mohli přepsat jakožto mocninu logaritmovaného čísla. Popravdě nejčastěji se používá úprava, že číslici vytahujeme z mocniny před logaritmus. Co se týka dalších dvou pravidel, používají se oba dva směry,tzn. nejenom např., že součin uvnitř logaritmu nahradíme součtem samostatných logaritmů, ale taky že součet dvou samostatných logaritmů, nahradíme součinem logaritmovaných čísel v jednom logaritmu, což se zejména používá pří řešení logaritmických rovnic. Ukažme si tedy základní pravidla pro řešení logaritmických rovnic, tedy rovnic s logaritmy, resp to budou takové rovnice kdy neznámá(pro nás notoricky známé písmeno X) bude součástí logaritmu.

Řešení logaritmických rovnic-log v lineárním tvaru

Nejdůležitějším faktem při řešením rovnic je se držet určitého postupu a postupovat, postupně k cíli. Co tím chtěl básník říct... Zapamatujte si, že řešení, libovolné rovnice v matematice musíte zakončit závěrem "X=...", takže i v logaritmických rovnicích, musíte zakončit řešení, že spočítáte konkrétní hodnotu pro X,samozřejmě pokud rovnice má řešení. Prostě jde o to, že v průběhu řešení nastane okamžik, kdy se musíme zbavit logaritmů a přejít na klasickou,povětšinou lineární či kvadratickou rovnici...Takže už víme jak zakončit rovnici,a tušíme že, někde uprostřed řešení se zbavíme logaritmu, takže se zbavíme ulity či si to představte jako kdyby se had svlékl z kůže... Pozastavme se ale nad tím, že sem uvedl,že budeme řešit situaci, kdy logaritmus je v lineárním postavení... Co to znamená... znamená to, že log samotný je de facto logaritmus na první, stejně jako X samotné je X na první, nebo číslice 10 je vlastně 10 na první... Pokud by byl např. logaritmus na druhou už se bude řešit jinak,což si ale ukážeme v další sekci...
Pokud máme tedy logaritmus jen a pouze v první mocnině celou rovnici řešíme podle následující šablony:


Co nám tedy daný postup říká, nejdříve musíme zkonsolidovat zadání, a na každé straně rovnice musíme dostat maximálně jeden logaritmus !! a to ještě tak,že nesmí být ani na jedné straně znaménko mínus, takže musí být de facto plus, a proto jsem to taky vyznačil do šablony.Poté pokud máme splněný bod 1,můžeme logaritmy vzájemně eliminovat, nejedná se ale o krácení !!!, krácení je operace kdy rušíme členy ve zlomku,kdy odebíráme stejně jak z jmenovatele tak z čitatele. Poté se zrušíme ulitu logaritmů, zbude nám klasická rovnice kdy porovnáme de facto vnitřky bývalých logaritmů.V drtivé většině případů pak ve finále dostaneme rovnici lineární nebo kvadratickou... Ukažme si praktický příklad.


Nejdříve podle šablony musíme dostat na každé straně jen jeden logaritmus, takže použijeme pro levou stranu pravidla, že rozdíl logaritmů, nahradíme jedním logaritmem a původní logaritmovaná čísla vydělíme,dělíme tím logaritmovaným číslem, které bylo součástí logaritmu se znaménkem mínus. Na pravé straně, nejdříve musíme dostat všechny členy do formy logaritmu, takže jedničku musíme přepsat pomocí logaritmu. Zde uplatníme znalost toho,že jednička samotná může být brána jako výsledek logaritmu, a jelikož pracujeme se základem deset v logaritmech, tak jednička jakožto řád alis bývalý exponent, poukazuje na číslici 10 v logaritmu, takže jedničku přepíšeme jakožto logaritmus deseti... pak i pravou stranu sloučíme do jednoho logaritmu. Poté co máme na obou stranách rovnice jen jeden logaritmus a to ještě se znaménky plus můžeme logaritmy eliminovat z obou stran rovnice... pak už řešíme klasickou rovnici, zkuste si sami dovyřešit...

Řešení logaritmických rovnic-log v kvadratickém tvaru

Nejdříve si ukážeme, co je to vlastně za tvar,v kterém se logaritmus nachází v kvadratickém tvaru...


Takže polopatě, máme situaci kdy se násobí dva totožné logaritmy !!! navzájem, zde můžeme použít analogii, že hruška krát hruška je prostě hruška na druhou, takže i logaritmus krát logaritmus je prostě logaritmus na druhou,což můžeme matematicky zapsat tak,že celý logaritmus obalíme do závorky na druhou, mnohem praktičtější a tedy i užívaný tvar, je ten že druhou mocninu připíšeme mírně nad písmeno g v logaritmu, přesně jak je to na obrázku.Co se však často plete je to, co je vlastně na druhou, totiž na druhou muže být logaritmus, logaritmované číslo nebo oboje... udělejme si tedy přehled:


Jak plyne z obrázku, je potřeba důkladně rozlišovat která část je vlastně na druhou, nás bude zajímat případ, kdy bude logaritmus samotný na druhou. Celé řešení spočívá v elegantním obejití problému.... Jak ? Můžete si obecně zapamatovat,že jakýkoliv typ rovnice kde se objevuje něco na druhou závání maskovanou kvadratickou rovnicí..A logaritmus na druhou nebude výjimka. Musíme však použít metody, která se nazývá substituce, a spočívá v tom, že logaritmus nahradíme nějakým písmenem a tudíž logaritmus na druhou můžeme nahradit písmenem na druhou, ukažme si zatím obecně jak...


Stručný komentář, když logaritmus na první je áčko, tak logaritmus na druhou je logicky áčko na druhou
Ukažme si tedy použití přímo v příkladu:


Zde vidíme konkrétní použití substituce v praxi, kdy substituujeme jak logaritmus na první tak zejména logaritmus na druhou, samozřejmě se sluší a doporučuje substituci zapsat tak jak sem to napsal já červeným písmem. Jen pozor substituujeme logaritmy jako celek !!! kdy celý logaritmus ať už na první nebo na druhou měníme za novou proměnnou(neznámou) v rovnici. To že já používám v substituci písmene A je jen moje volba, klidně si nahraďte logaritmus libovolným písmenem.Takže snad je již jasné jak logaritmickou rovnici převedu pomocí substituce na de facto kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme klasickým způsobem. Pokud vám dělají problém kvadratické rovnice, klikněte si na sekci kvadratická rovnice, kde je vše do detailu popsáno. Nicméně my pokračujme v příkladu:


Dokončeme tedy rozpracovaný příklad, z kvadratické rovnice si spočítáme kořeny, jsou dva, takže jeden označme "A" jedna, a druhý "A" dva. Mějte však pořád na paměti, že finálním řešením původní rovnice bude nějaké X a ne áčko. Písmeno A je jen pomocná proměnná zavedená v substituci aby nám ulehčila vyřešení příkladu. Takže když máme dořešeno áčko musíme, zpět dosadit do substituce, abychom dopočítali X. Samozřejmě dosazujeme do té samé substituce, pomocí které jsme přepsali logaritmickou rovnici na kvadratickou rovnici. Na závěr tedy řešíme situaci, že hledáme logaritmované číslo, jehož řád je 5 a 1 pří základu deset. Vzpomeňte si na základní pravidlo logaritmu, že výsledek logaritmu je řád neboli exponent původního čísla, samozřejmě bráno v potaz při určitém základu. My máme základ 10, takže logaritmovaná čísla jsou deset na pátou a deset na první, neboli sto tisíc a deset... toť vše...

Pokud si chcete procvičit příklady na logaritmy, klikněte si vpravo na liště na sekci LOGARITMY-příklady, kde se nachází většina typů příkladů s logaritmy



-------------------------------------------------------------------------

created by MSE - xmse@seznam.cz